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行列式

NOTE

矩阵的行列式等于其特征值的乘积

一些特殊行列式的结果

第一个 - 两条线

$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& & \dots \\ & a_2& b_2& \dots \\ & & a_3& \dots \\ \\ & & \dots & a_{n-1}& b_{n-1}\\ b_n& & \dots & & a_n\end{array}\right|\text{空白处为}0$$$$D_n=\prod _{i=1}^n{a}_i+(-1{)}^{n+1}\prod _{i=1}^n{b}_i$$

NOTE

这个地方有时候会让考虑 $n$ 的奇偶性，从而判断方程组只有零解

$AX=0$ 中，当 $|A|=0$ 是方程组有非零解；当 $|A|\ne 0$ 时，方程组只有零解

---

第二个 - 分块矩阵

$$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ \ast & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ 0& B\end{array}\right|=|A||B|$$$$\left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|$$

其中， $m$ 为 $A$ 的维数， $n$ 为 $B$ 的维数

第三个 - 全 1 矩阵减去单位矩阵

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right]$$

其特点为主对角线为 0，其他地方为 1

结果为：

$$|A|=det(A)=\left|\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& 0& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& 0& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& 1& \cdots & 0\end{array}\right|=(n-1)\times (-1{)}^{n-1}$$

具体推导过程在这里

性质

$$A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=|A|\cdot E$$$$A^{\ast }=|A{|}^{n-1}$$$$A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$$$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$$$A=|A|\cdot (A^{\ast }{)}^{-1}$$$$(kA)\cdot (kA{)}^{\ast }=|KA|\cdot E$$$$A^T\cdot (A^T{)}^{\ast }=|A^T|\cdot E$$$$A^{-1}\cdot (A^{-1}{)}^{\ast }=|A^{-1}|\cdot E$$$$A^{\ast }\cdot (A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|\cdot E$$$$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}\cdot A\text{当且仅当}n=2\text{的时候}(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$$

有关于秩的结论

1. 当 $P$ 、 $Q$ 都可逆的时候，有：

$$R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)$$

2. 若 $R(A_{m\times n})=n$ （列满秩），则 $R(AD)=R(D)$ ；

3. 若 $R(A_{m\times n})=m$ （行满秩），则 $R(DA)=R(D)$ ；

4. 若 $R(A_{m\times n})=n$ ，则 $A_{m\times n}X=0$ 只有零解

5. 若 $R(A_{m\times n})\ne n$ ，则 $A_{m\times n}X=0$ 有非零解

6. 矩阵 $A$ 与 $B$ 共阶 $\iff$ $R(A)=R(B)$

7. 向量组 $A$ 与 $B$ 共阶 $\iff$ $R(A)=R(B)=R(A,B)$

8. $R(A\pm B)\le R(A)+R(B)$

9. 若 $AB=0$ ，则有 $R(A)+R(B)\le n$ ，例如 $A(A-E)=E$ ，则 $R(A)+R(A-E)\le n$

10. $$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1& \end{array}$$

11. $R(A)=R(A^{T}A)$

12. $R(AB)\le min\{R(A),R(B)\}$

---

特征值与秩之间的关系：（在可对角化的基础上？）矩阵的秩等于其非零特征值的个数

方程组

非齐次

非齐次线性方程组无解的充分必要条件是 $R(A)<R(A,b)$

非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)=n$

非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)<n$

非齐次线性方程组 $AX=b$ 有解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)$ ，推广到矩阵方程则是 $AX=B$ 有解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,B)$

齐次

齐次线性方程组 $AX=0$ 中，当 $|A|=0$ 是方程组有非零解；

齐次线性方程组 $AX=0$ 中，当 $|A|\ne 0$ 时，方程组只有零解

---

齐次方程组只有零解不能推出非齐次方程组有解。

齐次方程组有非零解不能推出非齐次方程组有无穷个解

IMPORTANT

非齐次方程的解的线性组合在系数和为 $1$ 时仍然是解。

齐次方程组解的任意线性组合仍然为解

一个结论

若方程组 $AX=b$ 有无穷多个解，则方程组 $AX=0$ 则一定有非零解

推导： 非齐次有无穷多解： $R(A)=R(A,b)<n$ ；则 $R(A)<n$ ，不是满秩，所以 $|A|=0$ ，所以有非零解

解的结构

1. 设 ${\eta }_1$ 、 ${\eta }_2$ 、 $\cdots$ 、 ${\eta }_s$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的一组解，则 $k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_s{n}_s$ 也是 $AX=0$ 的解的充分必要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_s=0$

2. 设 ${\eta }_1$ 、 ${\eta }_2$ 、 $\cdots$ 、 ${\eta }_s$ 是非齐次线性方程组 $AX=b$ 的一组解，则 $k_1{\eta }_1+k_2{\eta }_2+\cdots +k_s{n}_s$ 也是 $AX=b$ 的解的充分必要条件是 $k_1+k_2+\cdots +k_s=1$

3. $AX=b$ 方程组无解，则可以得到 $b$ 不能由 $A$ （向量组）的线性组合来表示

线性相关

小相关可以推出大相关

大无关可以推出小无关

维数小于个数的时候，一定线性相关（例如 3 个 2 维向量，一定线性相关）

向量组 $A$ 线性无关，但是 $(A,b)$ 线性相关，则向量 $b$ 一定能由 $A$ 来表示，且形式唯一

向量组 $A$ 线性相关的充分必要条件是其构成的矩阵的秩 $R(A)<m$ （向量个数），线性无关的充分必要条件是 $R(A)=m$ （向量个数）（ $B:{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_s$ 向量组无关 $\iff$ $R(B)=s$ ； $B:{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_s$ 向量组相关 $\iff$ $R(B)<s$ ）

快速求解

直接上个例子：

求 $AX=b$ 的通解，先将 $(A,b)$ 这个矩阵进行初等变换，比如说变换成下面这样：

$$(A,b)\stackrel{r}{\sim }\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& -1& -3& 7& 6\\ 0& 1& 2& -4& 8& 4\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

注意看，在上面这个变换之后的矩阵中，左上角得到了一个二阶单位矩阵，并且，可以发现这是一个五元方程组的解，那么最后的通解则有三项齐次通解加上一个非齐次特解得到的，是：

$$X=C_1\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+C_3\left(\begin{array}{c}-7\\ -8\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

可以注意到，上面齐次通解部分就是单位矩阵后面三个元素取反之后得到的，然后下面再用单位矩阵补齐，是几元就需要补充到几元。至于非齐次特解，则是直接照抄最后最后一列的前两行（因为只有这两行非零），然后剩下的部分用零补齐即可

用到的方法还是传统计算，这只是将其化简了。

可逆以及诸多结论

如果 $A_{m\times n}$ 可逆，则可以得到下面这些：

$|A|\ne 0$ ，原理： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

$A\sim E$ ，原理： $(A,E)\stackrel{r}{\sim }(E,A^{-1})$

$R(A)=n$ ，原理：若 $A\sim B$ ，则 $R(A)=R(B)$

$AX=0$ 只有零解，原理：若 $R(A_{m\times n})=n$ ，则 $AX=0$ 只有零解

$AX=b$ 的解唯一，原理： $R(A)=R(A,B)=n$

$A$ 的特征值都不为 $0$ ，原理： $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3\cdots {\lambda }_n$

$A^{T}A$ 正定

$A$ 的列（行）向量组无关

以上结论都可以相互推导，都是双向箭头

当然，如果 $A_{m\times n}$ 不可逆，则上面的所有结论都将反过来。

有很多关于 $|A|=0$ 的推导，后续更新：

1. 齐次方程组有非零解

初等矩阵

性质与重要公式

首先就是都可逆；

$$[E_i(k){]}^{-1}=E_i\left(\frac{1}{k}\right)$$$$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$$$$[E_{ij}(k){]}^{-1}=E_{ij}(-k)$$

有关对称矩阵的一些结论

若 $A、B$ 为对称矩阵：

1. 则 $A、B$ 相似 $⟹$ $A、B$ 合同 $⟹$ $A、B$ 等价

2. $A、B$ 相似 $\iff$ $A、B$ 特征值相同

若 $A、B$ 为一般矩阵（不对称） 且 $A、B$ 等价：

1. $A、B$ 等价 $\iff$ $R(A)=R(B)$

2. $A、B$ 等价 $\iff$ $PAQ=B$ ，其中 $P$ 、 $Q$ 可逆

正交

$\alpha$ 、 $\beta$ 正交：则有 ${\alpha }^T\beta =\alpha {\beta }^T=0$

正交向量组 $⟹$ 线性无关组

线性无关组 $\bcancel{⟸}$ 正交向量组

施密特正交组

直接记忆：

$$b_1=a_1$$$$b_2=a_2-\frac{(b_1,a_2)}{(b_1,b_1)}{b}_1$$$$b_3=a_3-\frac{(b_1,a_3)}{(b_1,b_1)}{b}_1-\frac{(b_2,a_3)}{(b_2,b_2)}{b}_2$$$$b_4=a_4-\frac{(b_1,a_4)}{(b_1,b_1)}{b}_1-\frac{(b_2,a_4)}{(b_2,b_2)}{b}_2-\frac{(b_3,a_4)}{(b_3,b_3)}{b}_3$$$$\cdots$$$$b_r=a_r-\frac{(b_1,a_r)}{(b_1,b_1)}{b}_1-\frac{(b_2,a_r)}{(b_2,b_2)}{b}_2-\frac{(b_3,a_r)}{(b_3,b_3)}{b}_3-\cdots -\frac{(b_{r-1},a_r)}{(b_{r-1},b_{r-1})}{b}_{r-1}$$

正交矩阵

当 $A^{-1}=A^T$ 的时候，称 $A$ 为正交矩阵

---

针对某矩阵 $A$ ， $A$ 的特征多项式为 $(A-\lambda E)X=0$ ，要是此多项式有非零解的充要条件是：

$$|A-\lambda E|=0$$

即可求出特征值 ${\lambda }_i$ （方程的根）

相似矩阵

NOTE

相似的定义：

一个矩阵 $A$ 满足 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 相似

如果 $A\sim B$

则有：

$$r(A)=r(B)$$$$tr(A)=tr(B)$$$$|A|=|B|$$$$A\text{与}B\text{的特征值相等}$$$$A^{\ast }\sim B^{\ast }$$$$A^T\sim B^T$$$$A^{-1}\sim B^{-1}\text{（可逆的话）}$$$$A^n\sim B^n$$

IMPORTANT

可以使用相似对角化来求某个矩阵的高阶次方

特征值与特征向量

一个对比表格：

原矩阵为 $A$

矩阵	$A$	$a\ast A+b\ast E$	$A^k$	$A^{-1}$	$A^{\ast }$	$f(A)$	$A^T$	$P^{-1}AP$	$PA{P}^{-1}$
特征值	$\lambda$	$a\ast \lambda +b$	${\lambda }^k$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{|A|}{\lambda }$	A	$\lambda$	$f(\lambda )$	$\lambda$
特征向量	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	----	$P^{-1}\alpha$	$P\alpha$

$A^{\ast }$ 的特征向量与 $A$ 的特征向量是一样的，但是特征值是不同的（ ${\lambda }_{A^{\ast }}=\frac{||A||}{\lambda }$ ）

NOTE

一对矩阵，特征值相同，一定相似

相似 $⟹$ 合同 $⟹$ 等价

$A\sim B$ $\iff$ $R(A)=R(B)$ $\iff$ $PAQ=B$

---

矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 满足以下：

$$|A-\lambda E|=0$$

可逆变换与正交变换

在可逆变换下，二次型的系数不一定是其特征值

在正交变换下，二次型的系数一定是其特征值

NOTE

在讨论合同、正定的时候，只考虑对称矩阵

正定

若 $A$ 正定，则有：

$$\mathrm{\forall }A\ne 0,X^{T}AX>0$$$${\lambda }_i>0,i=1,2,3,\cdots ,n$$$$A=P^{T}EP\iff A=P^{T}P$$$$A\text{的顺序主子式}>0$$$$\text{正交特征值的数量为}n$$

同解

$AX=0$ 与 $BX=0$ 同解 $\iff$ $R(A)=R(B)=R\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$

向量组 $A$ 与向量组 $B$ 共价 $\iff$ $R(A)=R(B)=R(A,B)$

$A$ 如果为一般矩阵：不同的特征值对应的特征向量线性无关

$A$ 如果为对称矩阵：不同的特征值对应的特征向量正交

等价

等价的定义：

两个向量组等价，代表它们之间可以相互线性表示，比如 $A$ 中的每个向量都可以用 $B$ 中的向量表示，反过来也成立。

内积与外积

两个列向量的内积（ $A={\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha$ ，内积是一个数）等于其外积（ $B=\alpha {\beta }^T$ 或者 $B=\beta {\alpha }^T$ ，外积是一个矩阵）组成的矩阵的迹（主对角线元素之和）。（注意， $\alpha {\beta }^T\ne \beta {\alpha }^T$ ，但是形成矩阵的迹是相等的 ）

对角化

实对称矩阵一定可以对角化

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一个矩阵可以对角化的充要条件是对于任意一个特征值，其代数重数（特征多项式的重数）等于其几何重数（线性无关特征向量的个数）

贡献者

王海平

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