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注意事项

1. 在计算过程中，要理解计算的是信号，而不是传统意义上的函数，所以在遇到一些函数的形式接近于常见的信号，例如 $Sa(t)$ ，要将其变换成常见的信号来计算。

2. 在某些积分题目中，这个积分的区域是 $(-\mathrm{\infty },t)$ ，区域的上限不是一个常数（或者 $+\mathrm{\infty }$ ），而是一个变量，这个时候要考虑卷积公式，将原积分换成被积函数与阶跃函数的卷积。

3. 如果是离散的的阶跃信号相减，右侧端点处的值要被减去，不包含在结果内

4. 周期信号求傅里叶级数，非周期信号求傅里叶变换

5. 非周期信号的幅度频谱计算公式： $|F(j\omega )|$ ，直接加绝对值即可

电容相关内容

主要是电容与电流、电容与电压之间的关系公式。

$$I(t)=C\cdot \frac{d(u(t))}{dt}$$$$u(t)=\frac{1}{C}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}I(\tau )d\tau$$

IMPORTANT

电容的串并连性质与电阻的串并联性质相反

电容的串联：

当电容串联时，总电容的倒数等于各个电容的倒数之和

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$$$$C=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$$

电容的并联：

当电容并联时，总电容等于各个电容的电容值之和

电感相关内容

主要是电感与电流、电容与电压之间的关系公式。

$$u(t)=L\cdot \frac{dI(t)}{dt}$$$$I(t)=\frac{1}{L}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}u(\tau )d\tau$$

IMPORTANT

电容的串并连性质与电阻的串并联性质相同

当电感串联的时候，总电感等于各个电容的电容值之和

当电感并联的时候，总电感的倒数等于各个电感的倒数之和

$$\frac{1}{L}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$$$$L=\frac{L_1\cdot L_2}{L_1+L_2}$$

基本复变函数公式

$$e^{j\omega }=\cos \omega +j\sin \omega$$$$e^{-j\omega }=\cos \omega t-j\sin \omega t$$$$\sqrt{a^2+b^2}{e}^{j\arctan \frac{b}{a}}=a+bj$$$$z^{\ast }=a-bj\text{（共轭）}$$$$z=\sqrt{a^2+b^2}{e}^{\arctan \frac{b}{a}}=a+bj$$

其中，模值是 $\sqrt{a^2+b^2}$ ，相角（相位） 是 $\arctan \frac{b}{a}$

$$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t$$$$e^{-j\omega t}=\cos \omega t-j\sin \omega t$$

周期问题

连续信号的周期需要根据具体公式来计算

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

但是离散信号的周期则不太一样

如果遇到 $e^{j{\omega }_{0}t}$ ，则要用欧拉公式展开得到：

$$e^{j{\omega }_{0}t}=\cos ({\omega }_{0}t)+j\sin ({\omega }_{0}t)$$

其周期是 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$

例：求 $f(n)=\cos (\frac{3\pi }{7}n-\frac{\pi }{8})$ 的周期（注意是 $n$ ，是一个离散信号，而不是 $t$ （连续信号） ）

$$\frac{2\pi }{\frac{3\pi }{7}}=\frac{14}{3}$$

根据公式可以得到上面这个结果，但是这个并不是离散函数的周期，而是这个分式的分母。如果是整数，则结果就是这个整数

如果计算得到的分子是一个无理数，比如 $\pi$ ，那么这个信号是一个非周期信号

比如 $\cos (200n)$ （离散信号）， $T=\frac{2\pi }{200}=\frac{\pi }{100}$ ，分子是 $\pi$ （无理数），所以是一个非周期信号

如果是连续信号，则得到的 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ 就是其周期。

如果是离散信号，则得到的 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ 则需要分条件来看。👇

1. 如果 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ 是整数，则这个就是其周期，

2. 如果 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ 是分数，则此分数的分母为其周期，

3. 如果 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ 是无理数，则此信号是非周期信号。

还有更快的方法，如果是 $e^{j\frac{2\pi }{3}\cdot n}$ ，那么 $3$ 就是其周期。

---

看到一个单独的 $j$ 不要慌张，用欧拉公式将其展开：

$$j=e^{j\frac{\pi }{2}}$$

原因在于：

$$e^{j\frac{\pi }{2}}=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+j\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=0+j\cdot 1=j$$

---

多个周期信号叠加（相加）的时候，这个复合信号的周期是这两个信号周期的最小公倍数。

无论是 $f_1(t)+f_2(t)$ ，还是 $f_1[n]+f_2[n]$ 都是成立的。

---

当遇到 $f$ （频率），不要慌张， $f=\frac{1}{T}$ ，换言之， $T=\frac{1}{f}$ ，而这个时候再求周期，则是 $X(n)=X(nT)$

例如： $X(t)=\sin 4\pi t+\sin 10\pi t+\sin 16\pi t$ ， $T=1$ ，当 $f_s=64$ 的时候， $X(n)$ 的周期是：

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{64}$$$$\begin{array}{rl}X(n)=X(nT)& =\sin (4\times \frac{1}{64})\pi n+\sin (10\times \frac{1}{64})\pi n+\sin (16\times \frac{1}{64})\pi n\\ & =\sin \frac{\pi }{16}n+\sin \frac{5\pi }{32}n+\sin \frac{\pi }{4}n\end{array}$$

所以 $X(n)$ 的周期为 $N_1=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{16}}=32$ ， $N_2=\frac{2\pi }{\frac{5\pi }{32}}=\frac{64}{5}$ ， $N_3=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{4}}=8$ ，取最小公倍数，得到 $64$

---

NOTE

当两个信号周期之比是一个有理数的时候，这两个信号之和 （ $X(t)+y(t)$ ）也是一个周期信号

抽样函数 $Sa(t)$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (\omega t)}{t}dt=\pi \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (\omega t)}{t}dt=\frac{\pi }{2}\end{array}$$$$Sa(t)=\frac{\sin (t)}{t}$$

注意，上面这个是积分相比较于 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t}dt=\pi$ 不变而已，但是对于图像来说是变化了的，整体上是放缩了的

能量有限信号与功率有限信号

能量有限信号

定义：

$$E=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-T}^T|f(t){|}^{2}dt$$

$E$ 有限，则为能量有限信号

功率有限信号

定义：

$$P=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|f(t){|}^{2}dt$$

$P$ 有限，则为功率有限信号

如何判断

首先看幅值（幅值，粗略的可以看作是 $y$ 轴的最大值 ）

如果幅值有界，那么有两种情况，

1. 一个是 能量有界，但是零功率

2. 另外一个是 无穷能量，但是功率有限

如果幅值无界，则就是无穷能量，无穷功率

两个结论

IMPORTANT

所有幅值有界的周期信号都是功率信号

所有有限数量的脉冲信号都是能量信号

阶跃信号

图像：

IMPORTANT

一个重点：

$$u(at)=u(t)$$

这里要与冲激函数区分开来。

基本矩形脉冲信号（方框信号）

方框信号是可以由阶跃函数相减得到的：

$$G_2(t)=\delta (t+t_0)-\delta (t-t_0)$$

符号函数

符号函数与阶跃函数之间

$$sgn(t)=2\delta (t)-1$$$$\delta (t)-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}sgn(t)$$$$\delta (t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)$$

冲激函数的性质

冲激函数的积分

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t)dt=1$$

当然，时移之后的冲激函数的积分同样是 $1$

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-t_0)dt=1$$

一些延申：

$${\int }_a^b\delta (t)dt=\{\begin{array}{rlr}& 1& (a<0,b>0)\\ & -1& (a>0,b<0)\\ & 0& \text{else}\end{array}$$

再延申：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^t\delta (\tau )d\tau =u(t)$$$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}u(\tau )d\tau =R(t)$$$$\delta (t)=\frac{du(t)}{dt}$$$$u(t)=\frac{dR(t)}{dt}$$

其中，单位阶跃函数 $u(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ 1,& t\ge 0\end{array}$ ，单位斜边函数 $R(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0\\ t,& t\ge 0\end{array}$

---

抽样性质

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)\delta (t)dt=x(0)$$

变种：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)\delta (t-t_0)dt=x(t_0)$$

---

筛选性质

$$X(t)\delta (t)=x(0)\delta (t)$$

变种：

$$x(t)\delta (t-t_0)=x(t_0)\delta (t-t_0)$$

尺度变换公式（相似性质）

$$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$

变种：

$$\delta (at+b)=\frac{1}{|a|}\delta (t+\frac{b}{a})$$

卷积性质

$$f(t)\ast \delta (t)=f(t)$$$$f(t)\ast \delta (t-t_0)=f(t-t_0)$$

---

冲激函数的复合函数

$$\delta (f(t))=\sum _{\mathrm{\forall }f(t_0)=0}\frac{1}{|f^{{}^{\prime }}(t_0)|}\delta (t-t_0)$$

理解的话，就是先求出 $f(t)=0$ 的根，然后每一个根都需要带入进去求，最后求和。

---

冲激函数的一些等式

$$\underset{\omega \to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin (\omega t)}{\pi t}=\delta (t)$$

---

$$\underset{\tau \to 0}{lim}\frac{\tau }{\pi (t^2+{\tau }^2)}=\delta (t)$$

两个重要公式

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{j\omega t}d\omega =2\pi \delta (t)$$$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-j\omega t}d\omega =2\pi \delta (t)$$

冲激偶函数的性质

有关冲激偶函数（ ${\delta }^{\prime }(t)$ ）

首先是图像

由图，可以得到冲激偶函数是一个奇函数

冲激偶函数的积分

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\delta }^{\prime }(t)dt=0$$

---

冲激偶函数的筛选性质

$$f(t){\delta }^{\prime }(t)=f(0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(0)\delta (t)$$

这个可以认为是 $[f(t)\cdot \delta (t){]}^{\prime }$ 来记忆

补充：

$$f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)=f(t_0){\delta }^{\prime }(t)-f^{\prime }(t_0)\delta (t)$$

冲激偶函数的抽样性质

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t){\delta }^{\prime }(t-t_0)dt=-f^{\prime }(t_0)$$

冲激偶函数的尺度变换公式（相似性质）

$${\delta }^{\prime }(at)=\frac{1}{|a|}\cdot \frac{1}{a}{\delta }^{\prime }(t)$$$${\delta }^{\prime }(at+b)=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{|a|}{\delta }^{\prime }(t+\frac{b}{a})$$

高阶导数

$${\delta }^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|a^n}{\delta }^{(n)}(t)a\ne 0,n=1,2,3,\cdots ,n,\cdots$$

推论：

当 $n$ 为偶数时， ${\delta }^{(n)}(t)$ 是偶函数

当 $n$ 为奇数时， ${\delta }^{(n)}(t)$ 是奇函数

连续信号的分解

直流分量和交流分量的分解

NOTE

直流分量：信号在一个周期内的均值

$$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}f(t)dt$$

或者是

$$\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt$$

比如下面这个图中

首先看原始信号 a, 然后他其实可以分解成一个直流分量 $f_1(t)=1$ ，加上一个交流分量 $f_2(t)=\sin t$

可以这样来理解，一个信号的直流分量是它距离原点上的位移距离，而实际上是这个信号的平均值。

IMPORTANT

而交流分量：则使用原信号减去直流分量得到的部分就是交流分量

IMPORTANT

单纯的正弦函数与余弦函数没有直流分量

判断有没有直流分量：平均值算出来是否为 0

偶分量和奇分量

任何一个信号都可以拆成一个偶分量和一个奇分量

$$f(t)=f_e(t)+f_o(t)$$

其中， $f_e(t)$ 为偶分量。

$$f_e(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f(-t)]$$

其中， $f_o(t)$ 为奇分量。

$$f_o(t)=\frac{1}{2}[f(t)-f(-t)]$$

实分量和虚分量

对于实分量

$$f_{\tau }(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f^{\ast }(t)]=\frac{a+bj+a-bj}{2}$$

对于虚分量：

$$j{f}_i(t)=\frac{1}{2}[f(t)-f^{\ast }(t)]=\frac{a+bj-(a-bj)}{2}$$

其中， $f^{\ast }(t)$ 为 $f(t)$ 的共轭函数

正交函数分量

连续系统的性质与判断

线性、时变、因果、稳定、记忆性、可逆

线性与否

两个信号经过同一个系统，得到两个结果

如果将这两个信号线性叠加，再经过这个系统，得到的结果等于单独经过得到结果的同样线性组合，则称这个系统为线性系统。

换成公式：

$$F[c_1{e}_1(t)+c_2{e}_2(t)]\stackrel{\text{?}}{=}{C}_1{r}_1(t)+c_2{r}_2(t)$$

举个例子：

$$r(t)=\frac{de(t)}{dt}$$

首先是两个信号的线性叠加再经过系统，得到：

$$F(c_1{e}_1(t)+c_2{e}_2(t))=\frac{d(c_1{e}_1(t)+c_2{e}_2(t))}{dt}=c_1\frac{d{e}_1(t)}{dt}+c_2\frac{d{e}_2(t)}{dt}$$

然后是两个信号分别经过系统，再线性叠加，得到：

$$c_{1}F(e_1(t))+c_{2}F(e_2(t))=c_1\frac{d{e}_1(t)}{dt}+c_2\frac{d{e}_2(t)}{dt}$$

很明显是相等的。所以是线性的。

时变与否

先来一个例题：

很明显，这个是一个时不变系统。

方法就是首先对原信号进行时延，然后代入系统，得到一个结果。

然后是将原信号先放入系统，然后进行时延，得到一个结果。

如果这两个结果是一样的，则判断是时不变系统。反之是时变系统。

NOTE

当经过该系统之后得到的函数中，关于 $t$ 前面的系数如果不为 $1$ 。

或经过系统后得到的函数中除原函数之外，还有关于 $t$ 的其他函数。

这两种情况都判断为时变系统

换成公式：

$$r(t-t_0)\stackrel{\text{?}}{=}F[e(t-t_0)]$$$$\text{先系统后延时}\stackrel{\text{?}}{=}\text{先延时后系统}$$

举个例子：

$$r(t)=e(at)$$

首先是先系统后延时：

得到的是： $e(at-t_0)$

PS ：这里的系统代表的就是相比较于 $e(t)$ 本身有什么变化。

而先延时后系统得到的是： $e(a(t-t_0))=e(at-a{t}_0)$

很明显，结果是不一样的。

因果与否

NOTE

定义： 如果一个系统在任何时刻的输出只取决于输入的现在与过去的值，而不取决于输入的将来值，则此系统为因果系统

来一个例题：

稳定与否

NOTE

定义：

一个系统，若其输入是有界的，其系统的输出也是有界的，则该系统称为稳定系统

针对线性时不变系统（LTI），满足：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h(t)|dt<\mathrm{\infty }$$

则称其为稳定系统。反之，为不稳定系统。

记忆与否

NOTE

定义：

当前时刻的输出，只取决于当前时刻的输入。

简单理解起来就是，不能出现 $y[n]=f(y[n-a])$ 等情况。

IMPORTANT

当电路有存在储能元件，或者在计算中出现翻折、时移，这些都是有记忆性的。

可逆与否

IMPORTANT

时移系统，一定是可逆的

微分的系统，一定是不可逆的；但是积分的系统是可逆的。

同一输出只对应一个输入，则是不可逆的。

线性系统的方框图表示

微分方程的求解

一些基本概念

零输入和零状态

$$r^{(k)}(0^{+})$$

右上角的 $k$ 如果是大于 $0$ 的就是微分，如果是小于 $0$ 的就是积分

而后面的 $0^{+}$ 代表的是接入激励之后

当后面换成 $0^{-}$ ，代表的是接入激励之前，也就是起始状态

$$\text{零输入相应：}{r}_{zp}(t)$$$$\text{零状态相应：}{r}_{zs}(t)$$

零输入相应代表的是没有任何输入，只是由初始状态决定

而零状态相应则需要判断。

当接入激励之后，没有任何跳变，则 $r(0^{+})=r(0^{-})$

如果在接入激励的时候，发生跳变，意思是激励中包含冲激、阶跃。则： $r(0^{+})=r(0^{-})+r_{zs}(0^{+})$

所以，如果是要求其完全解，$\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{解}=\mathrm{零}\mathrm{输}\mathrm{入}+\mathrm{零}\mathrm{状}\mathrm{态}$

公式为：

$$r(0^{+})=r(0^{-})+r_{zs}(0^{+})$$

梅森公式与系统框图

这里主要是解决信号流图（仿真框图）的问题

正用 -- 从流图求系统函数

公式：

$$H=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\sum _{i=1}^n{P}_i{\mathrm{\Delta }}_i=\frac{\sum _{i=1}^n{P}_i{\mathrm{\Delta }}_i}{\mathrm{\Delta }}$$

其中：

$$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }=1-\sum _i{L}_i+\sum _{ij}{L}_i{L}_j-\sum _{ijk}{L}_i{L}_j{L}_k\cdots \end{array}$$

在其中：

$\sum _i{L}_i$ 代表的是所有不同回路的增益之和

$\sum _{ij}{L}_i{L}_j$ 代表的是所有两两不接触回路的增益之和

$\sum _{ijk}{L}_i{L}_j{L}_k$ 代表是所有三个不接触回路的增益之和

下面以此类推。

$P_i$ 代表第 $i$ 条前向通路的增益

${\mathrm{\Delta }}_i$ 将 $P_i$ 圈出去掉后再求 $\mathrm{\Delta }$

来一个例题：

增益之和，本质上将其乘起来

首先来看 $\sum _i{L}_i$ ，代表的是所有不同回路的增益之和

一共有三条回路，第一个是 $\frac{1}{s}\cdot (-3)$ ，第二个是 $\frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s}\cdot 5$ ，第三个是 $\frac{1}{s}\cdot (-2)$ .

然后看 $\sum _{ij}{L}_i{L}_j$ ，代表的是所有两两不接触回路的增益之和

很明显，第一个回路与第二个回路之间是有接触的，但第一个和第三个回路之间没有，第二个和第三个之间也没有接触。

而在此题目中，并没有三个回路之间不相接触的。

所以：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }& =1-\sum _i{L}_i+\sum _{ij}{L}_i{L}_j\\ & =1-[\left(\frac{-3}{s}\right)+\frac{5}{s^2}+\left(\frac{-2}{s}\right)]+[(\frac{-3}{s}\cdot \frac{-2}{s})+(\frac{5}{s^2}\cdot \frac{-2}{s})]\end{array}$$

然后是 $P_i$ ，代表第 $i$ 条前向通路的增益。这个向前通路就代表这从一开始出发，不经过回路到达最后的通路

${\mathrm{\Delta }}_i$ 就是除了刚才的前向通路之后，再用求 $\mathrm{\Delta }$ 的方法求一遍。

再来一个例题为：

反用 -- 从系统函数求流图

首先，我们已经知道梅森公式为：

$$H=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\sum _{i=1}^n{P}_i{\mathrm{\Delta }}_i$$

其中， $\mathrm{\Delta }$ 的形式为 $1-\cdots$ 项，这里要将题目给的 $H$ 凑成这样的形式。

也就是：

$$\begin{array}{r}H(s)=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{s^n+a_1{s}^{n-1}+a_2{s}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}\end{array}$$

然后上下同时除以 $S^n$ ，得到：

$$H(s)=\frac{\frac{b_0}{s^{n-m}}+\frac{b_1}{s^{n-m+1}}+\cdots +\frac{b_{m-1}}{s^{n-1}}+\frac{b_m}{s^n}}{1+\frac{a_1}{s}+\frac{a_2}{s^2}+\cdots +\frac{a_{n-1}}{s^{n-1}}+\frac{a_n}{s^n}}$$

至于说为什么要化简成这样，原因在于这样方便分析。首先是分母，很明显就是 $\mathrm{\Delta }$ 的形式，并且特点是所有的回路都经过第一个点，并且没有两两不相交的回路，都相交于第一个点。

然后，再看分子。分子上是一个求和，代表所有前向通路上面的增益。那么很明显， $\frac{b_0}{s^{n-m}}$ 代表的是在第 $n-m$ 个点上，出现一个新的通路，直接到最后，且这个曲线上的增益是 $b_0$ ，其他项以此类推。而最后一个 $\frac{b_m}{s^n}$ 就是直接的前向通路上面的增益之和。

经过上面这个公式，得到的系统流图为：

一个例题：

这里的使用还算相对简单。

NOTE

这里是直接知道 $H(s)$ ，普遍来说，更多时候需要求出 $H(s)$ ， $H(s)=\frac{R(s)}{E(s)}$ ，这里是拉氏变换中的内容。后续补充。

除此之外，在求得基本的流程图之后，有可能会让求并联或者串联情况下的系统框图。

这时候需要进一步将 $H(S)$ 化简成对应格式：

串联：

#TODO

有关卷积的一些性质

交换律

$$\begin{array}{r}x(t)\ast h(t)=h(t)\ast x(t)\\ x[n]\ast h[n]=h[n]\ast x[n]\end{array}$$

结合律

$$\begin{array}{r}[x(t)\ast h_1(t)]\ast h_2(t)=[x(t)\ast h_2(t)]\ast h_1(t)\\ (x[n]\ast h_1[n])\ast h_2[n]=(x[n]\ast h_2[n])\ast h_1[n]\end{array}$$

分配律

$$\begin{array}{rl}x(t)\ast [h_1(t)+h_2(t)]& =x(t)\ast h_1(t)+x(t)\ast h_2(t)\\ x[n]\ast (h_1[n]+h_2[n])& =x[n]\ast h_1[n]+x[n]\ast h_2[n]\end{array}$$

积分器和累加器

$$\text{积分器：}x(t)\ast u(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}x(\tau )d\tau$$$$\text{累加器：}x[n]\ast u[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]$$

卷积求导

$$\begin{array}{rl}\frac{d[x(t)\ast h(t)]}{dt}& =\frac{dx(t)}{dt}\ast h(t)\\ & =\frac{dh(t)}{dt}\ast x(t)\end{array}$$

相反平移不变

$$x(t+t_0)\ast h(t-t_0)=x(t)\ast h(t)$$

冲激函数与阶跃函数卷积

$$\delta (t)\ast u(t)=u(t)$$

冲激偶函数与阶跃函数卷积

$${\delta }^{\prime }(t)\ast u(t)=\delta (t)$$

补充到高阶导数：

$${\delta }^{(n)}(t)\ast u(t)={\delta }^{(n-1)}(t)$$

NOTE

对单位跃阶信号求导的结果就是冲激信号

冲激函数与普通函数进行卷积

$$\delta (t-a)\ast f(t)=f(t-a)$$

冲激偶函数与普通函数进行卷积

$${\delta }^{\prime }(t-a)\ast f(t)=-f^{\prime }(t-a)$$

阶跃函数与普通函数进行卷积

$$\begin{array}{r}u(t)\ast f(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(\tau )d\tau \end{array}$$

如果 $f(t)$ 为因果信号，则：

$$\begin{array}{r}u(t)\ast f(t)={\int }_0^{t}f(\tau )d\tau \end{array}$$

傅里叶变换

常用信号的傅里叶变换

总结

单边指数函数

$$\begin{array}{r}{e}^{-\alpha t}\epsilon (t)\leftrightarrow \frac{1}{\alpha +j\omega }\end{array}$$$$\begin{array}{r}f(t)=e^{-\alpha t}\epsilon (t)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\alpha t}& t>0\\ 0& t<0\end{array}\alpha >0\end{array}$$

推导以及图像如上

其幅度谱和相位谱如下：

双边指数信号

$$\begin{array}{r}{e}^{-\alpha |t|}⟷\frac{2\alpha }{{\alpha }^2+{\omega }^2}\end{array}$$$$\begin{array}{r}f(t)=e^{-a|t|}=\{\begin{array}{ll}{e}^{-at}& t>0\\ e^{at}& t<0\end{array}\alpha >0\end{array}$$

门函数（矩阵脉冲）

$$S_{\tau }(t)⟷\tau Sa\left(\frac{\tau }{2}\omega \right)$$$$Sa(t)=\frac{\sin (t)}{t}$$$$\begin{array}{r}{S}_{\tau }(t)=\{\begin{array}{ll}1,& |t|\le \frac{\tau }{2}\\ 0,& |t|>\frac{\tau }{2}\end{array}\end{array}$$

这里非常重要，因为涉及 $Sa$ 函数。

下面是它的相位谱和幅度谱

冲激函数（原函数以及导数）

$$\begin{array}{r}\delta (t)⟷F(j\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t){\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t=1\end{array}$$$$\begin{array}{r}{\delta }^{\prime }(t)⟷F(j\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\delta }^{\prime }(t)e^{-j\omega t}dt=-\frac{d}{dt}{e}^{-j\omega t}{|}_{t=0}=j\omega \end{array}$$

上面积分里面用的是冲激偶函数的抽样性质

$$\begin{array}{r}{\delta }^{(n)}(t)⟷(j\omega {)}^n\end{array}$$

门函数和冲激函数傅里叶变换之间的关系

常数 1

$$1⟶2\pi \delta \left(0\right)$$

有些函数 (如 $1$ ，$\epsilon (t)$ 等) 不满足绝对可积这一充分条件，直接用定义式不易求解。可构造一函数序列 $\{f_n(t)\}$ 逼近 $f(t)$，即

$$\begin{array}{r}f(t)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(t)\end{array}$$

而 $f_n(t)$ 满足绝对可积条件，并且 $\{f_n(t)\}$ 的傅里叶变换所形成的序列 $\{F_n(j\omega )\}$ 是极限收敛的。则 $f(t)$ 的傅里叶变换 $F(j\omega )$ 为

$$F(j\omega )=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{F}_n(j\omega )$$

这样的傅里叶变换称为是广义的傅里叶变换

下面是计算过程：

符号函数

$$\begin{array}{r}\text{sgn}(t)⟷\underset{\alpha \to 0}{lim}{F}_{\alpha }(j\omega )=\underset{\alpha \to 0}{lim}(-\frac{j2\omega }{{\alpha }^2+{\omega }^2})=\frac{2}{j\omega }\end{array}$$

推导过程如下：

注意，在上面图中的最后一步，是上下同时乘了一个 $j$ ，而 $j^2=-1$ 。

阶跃信号

$$\begin{array}{r}\epsilon (t)⟷\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }\end{array}$$

推导过程如下：可以使用常数信号和符号函数信号组合得到阶跃信号。

傅里叶变换的性质

线性性质

若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(j\omega ),f_2(t)\leftrightarrow F_2(j\omega )$ ，则 $a{f}_1(t)+b{f}_2(t)\leftrightarrow a{F}_1(j\omega )+b{F}_2(j\omega )$

奇偶性质

若 $f(t)\leftrightarrow F(j\omega )$ 则 $f(-t)\leftrightarrow F(-j\omega )$

如果 $f(t)$ 是一个实函数，则 $f(-t)\leftrightarrow F(-j\omega )=F^{\ast }(j\omega )$ ( $F(j\omega )\mathrm{的}\mathrm{共}\mathrm{轭}$ )

如果 $f(t)$ 是一个实偶函数，则 $F(j\omega )$ 是一个实偶函数

如果 $f(t)$ 是一个实奇函数，则 $F(j\omega )$ 是一个虚奇函数

时间函数与其频谱的奇偶虚实关系

在频域下， $F(j\omega )$ 可以写成模和相角的形式。

$$\begin{array}{r}F(j\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t=|F(j\omega )|e^{j\phi (\omega )}=R(\omega )+jX(\omega )\end{array}$$

其中的 $|F(j\omega )|e^{j\phi (\omega )}$ 是极坐标下的，而 $R(\omega )+jX(\omega )$ 是直角坐标系下面的。

而有下面这个关系：

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}|F(j\omega )|=\sqrt{R^2(\omega )+X^2(\omega )}\\ \phi (\omega )=\arctan \left[\frac{X(\omega )}{R(\omega )}\right]\end{array}\end{array}$$

下面针对时间域下的 $f(t)$ 在实函数和虚函数之间进行讨论。

当 $f(t)$ 为实函数的时候：

首先使用欧拉公式将其展开。

$$\begin{array}{rl}F(j\omega )=& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t){\mathrm{e}}^{-j\omega t}\mathrm{d}t\\ =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (\omega \cdot t)\mathrm{d}t-j{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\sin (\omega \cdot t)\mathrm{d}t\end{array}$$

那根据上面模和相角的形式，则可以得到：

$$\begin{array}{rl}R(\omega )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (\omega t)dt\\ X(\omega )& =-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\sin (\omega t)dt\end{array}$$

那么，我们再转换到极坐标下面，就可以得到下面这些结论：

$$\begin{array}{rl}R(\omega )& =R(-\omega )\text{偶函数}\\ X(\omega )& =-X(-\omega )\text{奇函数}\\ |F(j_{\omega })|& =|F(-j_{\omega })|\text{偶函数}\\ \phi (\omega )& =-\phi (-\omega )\text{奇函数}\end{array}$$

最后的结论是：

$$F(-j\omega )=F^{\ast }(j\omega )(F(j\omega )\mathrm{的}\mathrm{共}\mathrm{轭})$$

当然，如果还要判断 $f(t)$ 的奇偶性的话，还分为下面这俩个：

当 $f(t)$ 是一个虚函数的时候：

这个时候

$$f(t)=jg(t)$$$$\begin{array}{rl}F(j\omega )=& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}dt\\ =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t)\cos (\omega t)dt+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t)\sin (\omega t)dt\end{array}$$

显然，可以得到：

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}R(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t)\sin (\omega t)dt\\ X(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (\omega t)dt\end{array}\end{array}$$

那么根据计算可以得到：

$$R(\omega )=-R(-\omega )\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$$$$X(\omega )=X(-\omega )\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$$$$|F(j\omega )|=\sqrt{R^2(\omega )+X^2(\omega )}=|F(-j\omega )|\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$$$$\phi (\omega )=\arctan \left[\frac{X(\omega )}{R(\omega )}\right]=-\phi (-\omega )\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$$

对称性质

若 $f(t)\leftrightarrow F(j\omega )$ ，则 $F(jt)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega )$

当知道一个信号的傅里叶变换对，要反过来求跟刚才频域函数一样的时域信号的傅里叶变换对，利用这个性质就可以求解。

这里可以引申出来几个结论：

尺度变换特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(j\omega )$ ，则 $f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(j\cdot \frac{\omega }{a})$ ， $a$ 为非零实数。

可以得到下面这个结论：

时移特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(j\omega )$ ，则 $f(t\pm t_0)\leftrightarrow e^{\pm j\omega t_0}F(j\omega )$ ， $t_0$ 为实常数

若频域函数可以写成相位的形式： $F(j\omega )=|F(j\omega )|e^{j\phi (\omega )}$ ，则 $f(t\pm t_0)\leftrightarrow |F(j\omega )|\cdot e^{j[\phi (\omega )\pm \omega t_0]}$

注意： 幅度频谱无变换，只是影响相位频谱，相移 $\pm \omega t_0$

下面是 $f(at-b)$ 的傅里叶变换，注意不要弄反。

下面来一个比较难的例题：

利用对称性以及时移性质。

频移性质

若 $f(t)\leftrightarrow F(j\omega )$ ，则 $e^{\mp j{\omega }_{0}t}f(t)\leftrightarrow F[j(\omega \pm {\omega }_0)]$ ，其中， ${\omega }_0$ 为实常数。

需要特别注意的是正负号与时移性质不同

频移性质的实质是频谱搬移，它是通信理论中信号调制与解调的理论基础。

记忆一个公式：

$$\cos ({\omega }_{0}t)=\frac{1}{2}{e}^{j{\omega }_{0}t}+\frac{1}{2}{e}^{-j{\omega }_{0}t}$$$$\cos ({\omega }_{0}t)⟷\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)+\delta (\omega -{\omega }_0)]$$

同样的道理，正弦函数如下：

$$\sin ({\omega }_{0}t)=\frac{1}{2j}[e^{j{\omega }_{0}t}-e^{-j{\omega }_{0}t}]$$$$F(j\omega )=j\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)-\delta (\omega -{\omega }_0)]$$

而其中调制的过程就是乘一个 $\cos ({\omega }_{0}t)$ ，其中的 $\cos ({\omega }_{0}t)$ 称为载波， ${\omega }_0$ 称为载频

其中， $f(t)$ 是原信号，利用调制的方法将频率增高。

如果想要解调，那么需要在此基础上再乘以 $\cos ({\omega }_{0}t)$ ，然后再加一个低通滤波器即可。

很明显，解调的过程需要利用下面的卷积定理。时域相乘，频域上进行卷积。利用的公式是：

$$\delta (t-a)\ast f(t)=f(t-a)$$

而在两边进行卷积之后，刚好在原点出可以得到一个与原函数相似的信号，注意此信号的高度由于卷积需要乘以 $\frac{1}{2\pi }$ ，而原高度是 $\frac{\pi }{2}$ ，相乘刚好是 $\frac{1}{4}$ ；而又因为需要在左右两边进行两次卷积，最终叠加之后得到的结果是 $\frac{1}{2}$ 。相比较原函数强度下降一半。（注意，这只是比较简单的调制和解调，真实的过程更为复杂与方便）

卷积定理

时域卷积定理：

若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(j\omega )$ ， $f_2(t)\leftrightarrow F_2(j\omega )$ ，则有： $f_1(t)\ast f_2(t)⟷F_1(j\omega )\cdot F_2(j\omega )$

总结就是时域卷积等于频域相乘

频域卷积定理：

若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(j\omega )$ ， $f_2(t)\leftrightarrow F_2(j\omega )$ ，则 $f_1(t)\cdot f_2(t)⟷\frac{1}{2\pi }{F}_1(j\omega )\ast F_2(j\omega )$

来一个例题：

时域微积分定理

时域微分定理

$$f^{(n)}(t)\leftrightarrow (j\omega {)}^{n}F(j\omega )$$

时域积分定理

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(t)dt\leftrightarrow \pi F(0)\delta (\omega )+\frac{F(j\omega )}{j\omega }，\mathrm{其}\mathrm{中}F(0)=F(j\omega ){|}_{\omega =0}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)dt$$

其中，很多时候 $F(0)=0$

来一个例题：

注意： $sgn(t)$ 为符号函数。

推论 1

若 $f^{\prime }(t)\leftrightarrow F_1(j\omega )$ 则 $f(t)⟷\frac{F_1(j\omega )}{j\omega }+\pi [f(-\mathrm{\infty })+f(\mathrm{\infty })]\delta (\omega )$

注意，上面的 $ϵ(t)$ 是阶跃函数，表达方式不一样。

推论 2

若 $f^{(n)}(t)\leftrightarrow F_n(j\omega )$ 且 $\pi [f(-\mathrm{\infty })+f(\mathrm{\infty })]=0$

则

$$\begin{array}{r}F(t)\leftrightarrow \frac{F_n(j\omega )}{(j\omega {)}^n}\end{array}$$

频域微积分定理

频域微分定理

若 $\begin{array}{r}F(t)\leftrightarrow F(j\omega )\end{array}$ ，则：

$$\begin{array}{r}(-jt{)}^{n}f(t)⟷F^{(n)}(j\omega )\end{array}$$

频域积分定理

若 $\begin{array}{r}F(t)\leftrightarrow F(j\omega )\end{array}$ ，则：

$$\begin{array}{r}\pi f(0)\delta (t)+\frac{f(t)}{-jt}⟷{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\omega }F(jx)dx\end{array}$$

且其中：

$$\begin{array}{r}f(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(j\omega )d\omega \end{array}$$

NOTE

这个性质主要解决的是乘以 $t$ 的问题。

---

例如下面这个例题：

$$\begin{array}{r}f(t)=t\cdot ϵ(t)⟷F(j\omega )=?\end{array}$$

首先，知道的是：

$$\begin{array}{r}ϵ(t)⟷\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }\end{array}$$

然后是使用频域微分性质。

$$-jt\cdot ϵ(t)⟷\frac{d}{d\omega }[\pi \delta (\omega )+\frac{1}{j\omega }]=\pi {\delta }^{\prime }(\omega )-\frac{1}{j}\cdot \frac{1}{{\omega }^2}$$

然后左右两边同时除以 $-j$ ，得到最后的结果：

$$\begin{array}{r}t\epsilon (t)⟷j\pi {\delta }^{\prime }(\omega )-\frac{1}{{\omega }^2}\end{array}$$

---

然后再来一个例题：

计算 $\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (a\omega )}{\omega }d\omega \end{array}$

看到 $\begin{array}{r}\frac{\sin (a\omega )}{\omega }\end{array}$ 就要考虑门函数

$$\begin{array}{r}{g}_{2a}(t)⟷\frac{2\sin (a\omega )}{\omega }\end{array}$$

然后再根据傅里叶变换的基本公式：

$$\begin{array}{r}f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$

可以得到：

$$g_{2a}(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\sin (a\omega )}{\omega }{e}^{j\omega t}d\omega =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (a\omega )}{\omega }{e}^{j\omega t}d\omega$$

然后令 $t=0$ ，可以得到：

$$g_{2a}(0)=\begin{array}{r}\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (a\omega )}{a}d\omega \end{array}$$

相关定理

首先要记住的是相关运算。

互相关函数

互相关函数：

$$\begin{array}{rl}{R}_{12}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_1(t)f_2(t+\tau )dt\\ R_{12}(\tau )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_1(t)f_2(t-\tau )d\tau \\ & =f_1(\tau )\ast f_2(-\tau )\end{array}$$

如果能够满足上面这个积分，则 称 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 为互相关函数。

这个互相关函数的定义与卷积运算很相似。

从而引出相关定理：

互相关定理

若 $f_1(t)\leftrightarrow F_1(j\omega ),f_2(t)\leftrightarrow F_2(j\omega )$ ，则有：

$$\begin{array}{r}F[R_{12}(\tau )]\leftrightarrow F_1(j\omega )F_2^{\ast }(j\omega ),F[R_{21}(\tau )]\leftrightarrow F_1^{\ast }(j\omega )F_2(j\omega )\end{array}$$

自相关函数

$$R(\tau )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)f(t-\tau )d\tau =f(\tau )\ast f(t-\tau )$$

自相关定理

$$\begin{array}{r}F[R(\tau )]=F(j\omega )F^{\ast }(j\omega )={|F(j\omega )|}^2\end{array}$$

能量谱

能量信号

信号 (电压或电流) $f(t)$ 在 $\mathbf{\text{1}}$ $\mathrm{\Omega }$ 电阻上的瞬时功率为 $|f(t){|}^2$ ，在区间 $(-T,T)$ 的能量为：

$$\begin{array}{r}{\int }_{-T}^T|f(t){|}^{2}dt\end{array}$$

然后是在时间 $(-\mathrm{\infty }，+\mathrm{\infty })$ 上的完整信号的能量为：

$$E=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-T}^T{|f(t)|}^{2}dt$$

NOTE

如果信号能量是有限的，即： $0<E<\mathrm{\infty }$ ，则称为是能量有限信号，简称为能量信号。

例如：门函数、三角形脉冲、单边或双边指数衰减信号等

反之，如果能量计算出来得到的是无穷大，那么我们就计算其功率

帕斯瓦尔方程（能量方程）

$$\begin{array}{r}E=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-T}^T{|f(t)|}^2\mathrm{d}t={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|f(t)|}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|F(j\omega )|}^2\mathrm{d}\omega \end{array}$$

这个公式关键的地方在后面的 $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|F(j\omega )|}^2\mathrm{d}\omega$ ，意味着，当求能量的时候，如果在时域上不好求，可以转换到频域求。

能量密度谱

能量密度谱指的是单位频率的信号能量，用 $E(\omega )$ 来表示。

在频带 $df$ 内信号的能量为 $E(\omega )df$ ，因而信号在整个频率区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 的总能量为：

$$\begin{array}{r}E={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}E(\omega )df=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}E(\omega )d\omega \end{array}$$

上面这个公式与帕斯瓦尔能量方程相比较可以得到：

$$E(\omega )=|F(j\omega ){|}^2$$

结合相关定理

$$\begin{array}{rl}E(\omega )& =F[R(\tau )]\\ R(\tau )& =F^{-1}[E(\omega )]\\ R(\tau )& ⟷E(\omega )\end{array}$$

NOTE

所以可以得到结论：

能量有限信号的能量谱 $E(\omega )$ 与自相关函数 $R(\tau )$ 是一对傅里叶变换。

$$\begin{array}{r}R(\tau )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)f(t-\tau )dt⟺E(\omega )={|F(j\omega )|}^2\end{array}$$

IMPORTANT

信号的能量谱 $E(\omega )$ 是一个关于 $\omega$ 的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。其单位是 $J\cdot s$

下面来一个使用帕斯瓦尔定理的例题：

这里的难点在于第一步中的使用对称性质将门函数与抽样函数 ( $Sa$ 函数 ) 进行互换，而在互换的过程中，主要要乘以 $2\pi$ ，以及取负数。

功率谱

信号功率

其定义是在时间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 区间上信号 $f(t)$ 的平均功率。

$$P=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{|f(t)|}^{2}dt\mathrm{复}\mathrm{函}\mathrm{数}$$$$P=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}^2(t)dt\mathrm{实}\mathrm{函}\mathrm{数}$$

NOTE

如果信号功率有限，也就是 $0<P<\mathrm{\infty }$ ，信号称为功率有限信号，简称为功率信号。例如周期信号

IMPORTANT

功率信号的能量一定是无穷大的

若信号能量 $E$ 有限，则 $P$ （功率）为 $0$

若信号功率 $P$ 有限，则 $E=\mathrm{\infty }$ （能量无穷大）也就是： ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}^2(t)dt\to \mathrm{\infty }$

而能量无穷大，功率有可能无穷大，也有可能有限

$$\begin{array}{r}{E}_T={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_T^2(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{|F_T(j\omega )|}^{2}d\omega \end{array}$$

但是由于：

$$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_T^2(t)dt={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}^2(t)dt\end{array}$$

平均功率得到：

$$\begin{array}{r}P=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}^2(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{|F_T(j\omega )|}^2}{T}d\omega \end{array}$$

功率密度函数为：

$$\begin{array}{r}\frac{{|F_T(j\omega )|}^2}{T}\end{array}$$

功率密度谱

在频带 $df$ 内信号的功率为 $P(\omega )df$ ，因而信号在整个频率区间 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 的平均功率为：

$$\begin{array}{r}P={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}P(\omega )df=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}P(\omega )d\omega \end{array}$$

进而比较得到：

$$\mathrm{功}\mathrm{率}\mathrm{密}\mathrm{度}\mathrm{谱}\mathrm{函}\mathrm{数}：\begin{array}{r}P(\omega )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{|F_T(j\omega )|}^2}{T}\end{array}$$

NOTE

信号的功率谱 $P(\omega )$ 是 $\omega$ 的偶函数，它只取决于频谱函数的模量，而与相位无关。单位： $W\cdot s$

与相关函数之间的关系

互相关函数：

若 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 是功率有限信号，此时相关函数的定义为：

$$\begin{array}{rl}{R}_{12}(\tau )& =\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}{f}_1(t)f_2(t-\tau )dt]\\ R_{21}(\tau )& =\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}{f}_1(t-\tau )f_2(t)dt]\end{array}$$

自相关函数：

$$\begin{array}{r}R(\tau )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}f(t)f(t-\tau )dt]\end{array}$$

而在自相关函数的基础上，两边取傅里叶变换，可以得到：

$$\begin{array}{rl}\text{F}[R(\tau )]& =\text{F}[\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{\tau }{2}}f(t)f(t-\tau )dt]\\ & =\text{F}[\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_T(t)f_T(t-\tau )dt]\\ & =\text{F}[\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}[f_T(\tau )\ast f_T(-\tau )]]\\ & =\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}|F_T(j\omega ){|}^2\\ & =\text{P}(\omega )\end{array}$$

根据推导，可以得到：

$$\begin{array}{rl}P(\omega )& =F[R(\tau )]\\ R(\tau )& =F^{-1}[P(\omega )]\\ R(\tau )& ⟷P(\omega )\end{array}$$

得到结论：

功率有限信号的功率谱 $P(\omega )$ 与自相关函数 $R(\tau )$ 是一对傅立叶变换，称为维纳欣钦关系

$$\begin{array}{r}R(\tau )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}f(t)f(t-\tau )dt]⟺P(\omega )=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{|F_T(j\omega )|}^2}{T}\end{array}$$

白噪声功率谱密度的估计

首先明确噪声是一个随机信号

对于随机信号，由于不能直接用频谱表示，但是可以利用自相关函数求其功率谱密度，借助功率谱描述随机信号的频域特性。

白噪声：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的随机噪声。

在此假设，白噪声对所有频率其功率密度谱都是常数， $P_N(\omega )=N,-\mathrm{\infty }<\omega <\mathrm{\infty }$

从而可以得到其自相关函数：

$$R_N(\tau )=F^{-1}[P(\omega )]=N\delta (\tau )$$

这是一个 $N$ 倍的冲激函数

周期信号的傅里叶变换

前面解决的主要是非周期信号的问题，

正余弦函数

首先是正余弦函数：

$$\begin{array}{r}\cos ({\omega }_{0}t)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{j{\omega }_{0}t}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-j{\omega }_{0}t}⟷\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)+\delta (\omega -{\omega }_0)]\end{array}$$$$\begin{array}{r}\sin ({\omega }_{0}t)=\frac{1}{2j}(e^{j{\omega }_{0}t}-e^{-j{\omega }_{0}t})⟷j\pi [\delta ({\omega }_0+{\omega }_0)-\delta ({\omega }_0-{\omega }_0)]\end{array}$$

一般周期信号的傅里叶变换

$$\mathrm{指}\mathrm{数}\mathrm{形}\mathrm{式}\mathrm{的}\mathrm{傅}\mathrm{里}\mathrm{叶}\mathrm{级}\mathrm{数}：\begin{array}{r}{f}_T(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_n{e}^{jn\mathrm{\Omega }t}\end{array}$$$$\mathrm{复}\mathrm{傅}\mathrm{里}\mathrm{叶}\mathrm{系}\mathrm{数}：F_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-jn\mathrm{\Omega }t}dt$$

这里与胡老师讲的有些许出入。关键点在于符号的区别。

下面是胡老师的：

接下来是第二个公式：

$$F_T(j\omega )=\mathrm{\Omega }{\delta }_{\mathrm{\Omega }}(\omega )F_0(j\omega )=\mathrm{\Omega }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{F}_0(jn\mathrm{\Omega })\delta (\omega -n\mathrm{\Omega })$$

NOTE

这里主要的思想是，讲周期函数分解成基本周期函数与冲激函数的卷积，然后再根据时域卷积等于频域相乘，简化计算。

$${\delta }_T(t)⟷\mathrm{\Omega }{\delta }_{\mathrm{\Omega }}(\omega )$$$$F_T(j\omega )=\mathrm{\Omega }\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{F}_0(jn\mathrm{\Omega })\delta (\omega -n\mathrm{\Omega })$$

其中， $\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi }{T}$

拉氏变换

常见信号的拉氏变换

基本公式：

$$\text{正变换：}L[x(t)]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(t)e^{-st}dt$$$$\text{反变换：}X(t)e^{-\sigma t}=F^{-1}[X(s)]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(s)e^{j\omega t}d\omega$$

此外：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& X(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}X(s)e^{st}d\omega =\frac{1}{2\pi \cdot j}{\int }_{\sigma -j\cdot \mathrm{\infty }}^{\sigma +j\cdot \mathrm{\infty }}X(s)e^{st}ds\end{array}$$

其他公式：

IMPORTANT

在进行拉氏变换的时候，要注意其收敛域

$$\begin{array}{}\text{(1)}& e^{-at}u(t)\stackrel{L}{\to }\frac{1}{s+a}(\mathrm{Re}\{s\}>-a)(a>0)\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& -e^{-at}u(-t)\stackrel{L}{\to }\frac{1}{s+a}(\mathrm{Re}\{s\}<-a)\end{array}$$$$u(t)\stackrel{L}{\to }\frac{1}{s}\mathrm{Re}\{s\}<0$$$$u(-t)\stackrel{L}{\to }-\frac{1}{s}\mathrm{Re}\{s\}>0$$$$\delta (t)\stackrel{L}{\to }1\mathrm{Re}\{s\}\text{为全平面}$$$$\cos ({\omega }_{0}t)u(t)\stackrel{L}{\to }\frac{s}{s^2+{\omega }^2}\mathrm{Re}\{s\}>0$$$$\sin ({\omega }_{0}t)u(t)\stackrel{L}{\to }\frac{-{\omega }_0}{s^2+{\omega }_0^2}\mathrm{Re}\{s\}>0$$$$e^{-at}\cos ({\omega }_{0}t)u(t)\stackrel{L}{\to }\frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }_0^2}\mathrm{Re}\{s\}>-a$$$$e^{-at}\sin ({\omega }_{0}t)u(t)\stackrel{L}{\to }\frac{{\omega }_0}{(s+a{)}^2+{\omega }_0^2}\mathrm{Re}\{s\}>-a$$$$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t)\stackrel{L}{\to }\frac{1}{s^n}\mathrm{Re}\{s\}>0$$$$\frac{t^{n-1}{e}^{-at}}{(n-1)!}u(t)\stackrel{L}{\to }\frac{1}{(s+a{)}^n}\mathrm{Re}\{s\}>-a$$

拉氏变换的性质

在对有些信号进行拉氏变换的时候，可能会出现一些问题需要用到性质来解决。

$$X(t-t_0)\stackrel{L}{\to }{e}^{-s{t}_0}X(s)$$

三角函数变换公式和欧拉公式

这部分公式无论是在求信号的周期还是后面计算傅里叶变换方面都有一定的作用。

积化和差

$$\begin{array}{c}\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\\ \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$

和差化积

$$\begin{array}{c}\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{c}\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \tan \alpha -\tan \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \cot \alpha +\cot \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \cot \alpha -\cot \beta =-\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha +\cot \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha -\cot \beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\end{array}$$

倍角公式

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha \end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3)}& \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\end{array}$$

大部分的三角函数变形都能使用上面这些公式得到，比如降幂公式就是第二个公式变形得到。

欧拉公式

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sin \theta =\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& \cos \theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}\end{array}$$$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\times \sin \theta$$

有关欧拉公式的扩展公式（计算积分）：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^m\times e^{-sx}dx=\frac{m!}{s^{m+1}}$$

当 $m=0$ 的时候：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-sx}dx=\frac{1}{s}$$

此外的扩展公式：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\cos kx\times e^{-sx}dx=\frac{s}{s^2+k^2}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\sin kx\times e^{-sx}dx=\frac{k}{s^2+k^2}\end{array}$$

信号复合函数化简

冲激信号复合函数化简

$$\delta [f(t)]=\sum _{t=0}^n\frac{1}{|f^{\prime }(t_i)|}\delta (t-t_i)$$

在这里经常用的是：

将 $\cos (k\pi )$ 放入到求和里面，如果是冲激函数，则比如：

$$\cos (k\pi )\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta (t-k\pi )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\delta (t-k\pi )$$

所以， $\cos (k\pi )\to (-1{)}^k$

阶跃信号复合函数化简

直接上例子：

$$u[\sin (t)]=\{\begin{array}{l}1,\sin t\ge 0\\ 0,\sin t<0& \end{array}$$

贡献者

王海平

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