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一些不知道放哪，但是需要注意的问题

反函数与复合函数

对于函数 $f(x)$ 和它的反函数 $f^{-1}(x)$ ，满足 $f(f^{-1}(y))=y$ ， $f^{-1}(f(x))=x$

同时，反函数具备与原函数相同的单调性

快速抓大头

抓大头直接得到结果：

$$n^n>n!>a^n>n^a>n>\sqrt{n}>\ln n(a>1,n>+\mathrm{\infty })$$

$n$ 次根号下累加的性质

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=max\{a_i\}\text{其中}{a}_i>0,i=1,2,\cdots ,n$$

例题：

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+{|x|}^{3n}}\text{求}f(x)\text{在何处不可导}$$$$\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+|x{|}^{3n}}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+{\left(|x{|}^3\right)}^n}\\ & =max\{1,|x{|}^3\}\end{array}$$

这个函数的图像如下：

可以很轻松的得到 $f(x)$ 在 $-1$ 和 $1$ 处不可导。

指数相乘三角函数的快速求积分

这个是对于指数相乘三角函数的快速求积分的方法

$$\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\sin bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \sin bx\end{array}\right|+c$$$$\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{1}{a^2+b^2}\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\cos bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \cos bx\end{array}\right|+c$$

需要注意的是，核心是计算这个行列式。

$f(x)=x\cdot \ln x$

$$f(x)=x\cdot \ln x$$

需要记忆这个函数的图像。

$\ln (x+\sqrt{1+x^2})$

记忆

$$g(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})$$

的有关性质。

1、 $g(x)$ 是一个奇函数

2、

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

3、

$$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln (x+\sqrt{1+x^2})+c$$

这个公式的推导来自于基本积分公式：

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+c$$

4、

等价无穷小，这个有时候用的挺多的

$$\ln (x+\sqrt{x^2+1})\sim x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$

一般只用到前两项，如果还有必要，做题遇到再说，因为这个函数的导数不是很好求，不过依然可以用泰勒展开求解。

关于 $\sqrt[n]{n}$ 的一些性质

1、$\sqrt[n]{n}$ 的最大值是 $\sqrt[3]{3}$

2、$\sqrt[x]{x}$ 的最大值是 $\sqrt[e]{e}$

3、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{A}=1$$

4、

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_n^n}=max\{a_i\}(k_i\le n)(a_i>0)$$

导数与原式同时出现

如果 $f^{\prime }(x)$ 和 $f(x)$ 同时出现，那么需要考虑两种情况。

第一个，考虑拉格朗日中值定理

$$f(x)-f(a)=f^{\prime }(\xi )\cdot (x-a)\xi \in (a,x)$$

第二个，考虑积分

$$f(x)-f(a)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt$$

积分、连续、可导之间的关系

连续不一定可导，可导一定连续

不连续一定不可导

设 $F(x)={\int }_a^{x}f(x)dx$ ，若 $f(x)$ 可积，则 $F(x)$ 连续；若 $f(x)$ 连续， $F(x)$ 可导。

换句话说，如果能都能写出积分公式，则一定可积。而 $f(x)$ 连续则需要在间断点处进行判断是否连续

例如：

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& 0\le x<\pi \\ 2& \pi \le x\le 2\pi & \end{array}$ ， $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ ，则：

因为已经写出了积分公式，所以其肯定是连续的，而在 $\pi$ 这个点上是 $f(x)$ 的第二类间断点。

直接就可以得到： $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处是连续且不可导的

---

现在还有一种经常出现问题的结论：

但凡涉及到在某个点处（在某个点的邻域内）的导数大于 $0$ ，或者小于 $0$ ，都是不能推断出该函数在这个点的附近是单调增或者单调减的

NOTE

只要是涉及到某个点处（或者某个点的邻域内）的问题，都要格外注意。

导数与极值的问题

IMPORTANT

若 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ ， $f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$ ，则 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

若 $f^{\prime }(x_0)=0$ ， $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ ，则 $(x_0,f(x_0))$ 为极小值点

若 $f^{\prime }(x_0)=0$ ， $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ ，则 $(x_0,f(x_0))$ 为极大值点

IMPORTANT

反过来说，若 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点，且 $f^{\prime \prime }(x)$ 存在，则 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 。

其中，当二阶导数小于 0（ $y^{\prime \prime }<0$ ）为凸区间

二阶导数大于 0（ $y^{\prime \prime }>0$ ）为凹区间

IMPORTANT

若 $f^{(n)}(x)\ne 0$ ，则 $f(x)=0$ 至多有 $n$ 个不同根

参数方程求导

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

反函数求导问题

$y=f(x)$ ， $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ ， $y^{\prime \prime }=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(y^{\prime })}{dx}$

然后是反函数：

一阶导：

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^{\prime }}=\frac{dx}{dy}$$

二阶导：

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}x}{d{y}^2}& =\frac{d\left(\frac{1}{y^{\prime }}\right)}{dy}\\ & =-\frac{1}{(y^{\prime }{)}^2}\frac{d(y^{\prime })}{dy}\\ & =-\frac{1}{(y^{\prime }{)}^2}\cdot \frac{d(y^{\prime })}{dx}\cdot \frac{dx}{dy}\\ & =-\frac{1}{(y^{\prime }{)}^2}\cdot y^{\prime \prime }\cdot \frac{1}{y^{\prime }}\\ & =-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}\end{array}$$

常见导数中的构造问题

做差

无论是在高考还是考研中，都很难处理两个函数的问题，比如 $x^2=e^x$ 。

一般都要转换成一个函数来处理。

方法一般为做差

导数与原函数之间的构造问题

一般来说，只要题目中提供了导数与原函数之间的等数关系

那么接下来就是要考虑使用构造函数的公式：

若欲证结论为" $\mathrm{\exists }\delta \in (a,b)$ 使得， $f^{\prime }(\delta )+f(\delta )g(\delta )=0$ "，这个时候，可以设置辅助函数为 $F(x)=f(x)\cdot e^{\int g(x)dx}$ ，然后对 $F(x)$ 使用罗尔定理，得到 $F^{\prime }(\delta )=0$ ，化简既可以得到 $f^{\prime }+f(\delta )g(\delta )=0$

其他常见的构造函数

比如遇到 $f(xy)=f(x)+f(y)$ ，则构造原函数为 $f(x)=\ln x$

比如遇到 $f(x+y)=f(x)f(y)$ ，则构造原函数为 $f(x)=e^x$

常见函数的极限

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }$$$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=0$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}=-1$$$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=-\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$$

例题：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x$$

这里需要分左右极限来处理。

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x\\ \Rightarrow & -1\cdot \frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-e^x}{1+e^x}\arctan x\\ & \Rightarrow 1\cdot -\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

全微分方程

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

其中 $z=f(x,y)$

反常积分的敛散性

$${\int }_a^b\frac{1}{{(x-a)}^p}dx\{\begin{array}{cc}p<1,& \text{收敛}\\ p\ge 1,& \text{发散}\end{array}$$

$${\int }_a^b\frac{1}{{(b-x)}^p}dx\{\begin{array}{cc}p<1,& \text{收敛}\\ p⩾1,& \text{发散}\end{array}$$

3. $${\int }_0^1{x}^p|\ln x{|}^{q}dx({\int }_0^1(1-x{)}^p|\ln (1-x){|}^{q}dx)$$

   当 $p>-1$ ， $q>-1$ 的时候收敛

$$\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p{\ln }^{q}n}$$

当 1. $p>1$ 或 2. $p=1$ ，且 $q>1$ 的时候收敛

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p{\ln }^{q}x}dx(a>1)$$

当 $p>1$ 的时候收敛，当 $p=1$ ， $q>1$ 的时候收敛

$$\int \frac{1}{x^{\alpha }{\ln }^{\alpha }x}dx$$

当 $x\to 0$ ， $\alpha <1$ 或者 $\alpha =1$ ， $\beta >1$ 的时候收敛

当 $x\to \mathrm{\infty }$ ， $\alpha >1$ 或者 $\alpha =1$ ， $\beta >1$ 的时候收敛

变上限积分

变上限积分的无穷小问题

$${\int }_0^{x^n}{t}^{m}dt\mathrm{是}x\text{的}(m+1)\cdot n\text{阶无穷小}$$

例题：

$$x\to 0\text{时，}{\int }_0^{x^3}(e^{t^4}-1)dt\text{是}x\text{的几阶无穷小}$$$${\int }_0^{x^3}(e^{t^4}-1)dt={\int }_0^{x^3}{t}^{4}dt$$

根据上面的公式，得到原式是 $x$ 的 $(4+1)\times 3=15$ 阶无穷小。

变上限积分求导问题

$$I(x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$$$$I^{\prime }(x)=f(v(x))\cdot v^{\prime }(x)-f(u(x))\cdot u^{\prime }u(x)$$

此外，注意换元问题。如果是被积函数的主体是一个抽象函数，例如： $f(x-t)$ ，类似于这种的，都需要进行换元处理。

三步走和四步走

对于

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+e^{nx}}{1+e^{nx}}$$

可以得到：

$$\{\begin{array}{ll}\frac{1+x}{2}& x=0\\ 1& x>0\\ x+1& x<0\end{array}$$

核心在于将 $f(x)$ 中的 $n$ 去掉。

对于

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$$

可以得到：

$$\{\begin{array}{ll}1& x=1\\ 0& x=-1\\ 1+x& |x|<1\\ 0& |x|>1.\end{array}$$

关键是在于要学会对 $f(x)$ 进行分析。

三角函数与反三角函数以及导数

首先是三角函数：

三角函数求导不再赘述，至于后面复杂的三角函数，之间换回到简单三角函数即可。

然后是反三角函数：

反三角函数的求导在下面：

三角恒等变换相关公式

积化和差以及和差化积公式

$$\begin{array}{c}\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\end{array}$$$$\begin{array}{c}\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \tan \alpha -\tan \beta =\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\\ \cot \alpha +\cot \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \cot \alpha -\cot \beta =-\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha +\cot \beta =\frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\\ \tan \alpha -\cot \beta =-\frac{\cos (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \sin \beta }\end{array}$$

记忆口诀： 正加正，正在前， 余加余，余并肩。 正减正，余在前， 余减余，负正弦。

积化和差公式：

$$\begin{array}{c}\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\\ \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$

记忆口诀： 积化和差得和差， 余弦在后要相加； 异名函数取正弦， 正弦相乘取负号。

和差角公式

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha$$$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$$$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

六边形关系

其中有三组关系：

• 边上的三角函数两边相乘等于中间
• 染了色的三角形上面两个三角函数的平方和等于下面的
• 相对的三角函数是倒数关系

二倍角公式

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$$$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$$$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$

三倍角公式

$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha {\cos }^2\alpha -{\sin }^3\alpha$$$$\cos 3\alpha ={\cos }^3\alpha -3{\sin }^2\alpha \cos \alpha$$

半角公式

注意，具体需要符号看象限

$$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$$$$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$$$$\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$$$$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$$

降幂公式

$$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{2}$$$${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$$$${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$$

辅助角公式

$$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$$

其中， $\tan \phi =\frac{b}{a}$

点鞭炮公式

$$\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cdots \cos 2^n\theta =\prod _{i=0}^n\cos 2^i\theta =\frac{\sin 2^{n+1}\alpha }{2^{n+1}\sin \alpha }$$

万能公式

辅助记忆图：

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{{\sec }^2\frac{x}{2}}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{{\sec }^2\frac{x}{2}}=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\cot \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{2\tan \frac{\alpha }{2}}$$$$\sec \alpha =\frac{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}$$$$\csc \alpha =\frac{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{2\tan \frac{\alpha }{2}}$$$$\tan x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}$$$$\tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$$

切线方程

过 $P$ 点的切线方程为：

$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

若过P另有曲线C的切线，切点为 $Q(b,f(b))$，则切线为：

$$y-f(a)=f^{\prime }(b)(x-a)$$

曲率与曲率半径

曲率，主要是用到了与导数相关的知识。

曲率：

$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{[1+(y^{\prime }{)}^2]}^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径：

$$R=\frac{1}{K}$$

曲线渐近线问题

曲线的斜渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=k_1\text{且}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(y-k_{1}x)=b_1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=k_2\text{且}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(y-k_{2}x)=b_2$$

上面公式中的 $k_1$、$b_1$ 是斜率和截距

曲线的水平渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=c_1$$$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=c_2$$

当 $c_1\ne c_2$ 的时候有两条水平渐近线。

曲线的垂直渐近线

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }\text{或者}\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$

$x=x_0$ 的时候，为垂直渐近线。

渐进线的极限存在问题

直接上例题：

设 $f(x)$ 为连续函数，且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x[1+x+f(x)]$ 存在，则曲线 $y=f(x)$ 有斜渐近线是：

主要看，在上面的这个极限中，极限值是存在的，但是很明显，当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 的时候， $e^x$ 也是 $\to +\mathrm{\infty }$ 的。然而这个极限依然存在，所以本质上后面的 $[1+x+f(x)]$ 在 $x\to +\mathrm{\infty }$ 的时候是趋于 0 的。

那么变换一下就可以得到：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}1+x+f(x)\to 0$$$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)\to -x-1$$

所以 $f(x)$ 有斜渐近线为 $y=-x-1$

IMPORTANT

注意，斜渐近线一定是斜着的

旋转曲面的侧面积问题

（暂时略....）

弧长问题

标准方程

对于 $L:y=f(x)$ ，其中 $(a\le x\le b)$

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$

参数方程

对于 $L:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)& \end{array}$ ， $(\alpha \le t\le \beta )$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$$

极坐标方程

对于 $L:\{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos (\theta )\\ y=r(\theta )\sin (\theta )\end{array}$ ，其中 $(\alpha \le \theta \le \beta )$

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$$

中值定理

罗尔中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导， $f(a)=f(b)$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ ，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

拉格朗日中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定理

1. 若 $f(x)$ $g(x)$ 都在 $[a,b]$ 上连续，都在 $(a,b)$ 上可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$ ，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ . 使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$
2. 当 $g(x)=x$ 时 : 柯西 $\to$ 拉格朗日

泰勒中值定理

如果函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的开区间 $(a,b)$ 内有直到 $n+1$ 阶导数，则对任一点 $x_0\in (a,b)$ ，有：

$$\begin{array}{rl}f(x)=& f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\\ & \frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\\ & \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}\end{array}$$

积分中值定理

设函数 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，则 $\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$ ，使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$ 。

中值定理的构造问题

若欲证结论为" $\mathrm{\exists }\delta \in (a,b)$ 使得， $f^{\prime }(\delta )+f(\delta )g(\delta )=0$ "，这个时候，可以设置辅助函数为 $F(x)=f(x)\cdot e^{\int g(x)dx}$ ，然后对 $F(x)$ 使用罗尔定理，得到 $F^{\prime }(\delta )=0$ ，化简既可以得到 $f^{\prime }+f(\delta )g(\delta )=0$

设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_s$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系， $A\beta \ne 0$ ，此外， $B=(\beta ,\beta +{\alpha }_1,\beta +{\alpha }_2,\cdots ,\beta +{\alpha }_s)$ ，为什么 $B$ 是线性无关的

二重积分中值定理

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta ){\iint }_{D}d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot \sigma =f(\xi ,\eta )\cdot S_D$$

欧拉公式

$$sin\theta =\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j}$$$$cos\theta =\frac{e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}$$$$e^{j\theta }=cos\theta +j\times sin\theta$$

泰勒公式的一些应用

首当其冲的就是求极限

这个就不多讲了，不过需要注意的是，一般上来讲，是 $x\to 0$ 的才行，还有就是可以多展开几项更加准确。

其次，就是泰勒公式与高阶导数之间的关系

这里不再赘述。

这里主要是说明泰勒公式在求和方面的应用。（或许未来会整理到一个单独的文件中。）

注意到常见的泰勒展开式前面是有系数的。

也就是说，当涉及到"系数"相加的情况，可以考虑泰勒公式。

例如下面这两个例子：

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\ln 2$$

这里主要用到了 $\ln (x+1)$ 的泰勒展开。

$$\ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}(-1<x\le 1)$$

令 $x=1$ 就可以得到上面的结果。

另外一个例子：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=e$$

这个是用到了 $e^x$ 的泰勒展开式。

$$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$

当 $x=1$ 的时候，与上式相等。

以此类推，可能会有 $\sin (1)$、$\cos (1)$ 之类的东西出现。

一些积分相关的东西

$$({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin (2x)$$

基本积分公式

$$\int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{(\alpha +1)}+C(\alpha \ne -1)$$$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)$$$$\int e^{x}dx=e^x+C$$$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$$$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$$$$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$$$$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$$$$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$$$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$$$$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$$$$\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\cot x|+C=\ln |\csc x-\cot x|+C$$$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$$$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$$$$\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$$

下面补充积分：

$$\int \frac{1}{\sin x\cos x}dx=\ln |\tan x|+C$$

下面这俩个积分如果不背下来的话，也可以考虑分部积分法来构成循环积分来求解。

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$$$$\int \sqrt{x^2\pm a^2}dx=\pm \frac{a^2}{2}\ln (x+\sqrt{x^2\pm a^2})+\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}+C$$

比较常用的三角变换：

$${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$$$${\tan }^{\prime }x={\sec }^{2}x$$$${\sec }^{\prime }x=\sec x\cdot \tan x$$

积分中含有根号的问题

1. 首先考虑上面的三角变换，变换到基本积分公式（看上面即可）

2. 然后是考虑图像，有时候针对根号下积分的问题用圆或者椭圆的面积来解决

3. 考虑直接令根号下全部等于 $u$ ，进行换元计算，也是凑微分的一种方法

4. 其他待补充

形如 $\int \frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}dx$

核心要义就是令分子 = A 分母+B 分母的导数

例如：

$$\int \frac{3\sin x-7\cos x}{2\sin x+9\cos x}dx$$

令 $3\sin x-7\cos x=A(2\sin x+9\cos x)+B(2\cos x-9\sin x)$

可有得到：

$$\{\begin{array}{l}3=2A-9B\\ -7=9A+2B& \end{array}$$

IMPORTANT

这里暂定，有些许问题，后续再处理。

贝塔函数和伽马函数

贝塔函数的定义是：

$$B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx(p>0,q>0)$$

性质

对称性：

$$B(p,q)=B(q,p)$$

特殊值：

$$B(1,1)=1$$$$B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi$$

与伽马函数之间的关系

$$B(p,q)=\frac{\mathrm{\Gamma }(p)\mathrm{\Gamma }(q)}{\mathrm{\Gamma }(p+q)}$$

用这个可以快速求积分。

圆

圆的标准方程：

在平面直角坐标系内，以 $(a,b)$ 为圆心，以 $r$ 为半径，圆的标准方程是：

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

圆的一般方程，也是在平面直角坐标系内。

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(D^2+E^2-4F>0)$$

其中，

圆心：

$$(x,y)=(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$$

半径：

$$r=\left(\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\right)$$

注意，若 $D^2+E^2-4F=0$ ，则表示，此方程为一个点，如果小于 0，则表示为一个虚圆（在虚轴上）。

参数方程：

圆心为 $(a,b)$ ，半径为 $r$ ，参数为 $\theta$ 。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x=a+r\cos \theta \\ y=b+r\sin \theta & & \end{array}(\theta \in [0,2\pi ))\end{array}$$

极坐标方程：

圆的半径为 $R$

圆心在极点处时候：

极坐标方程为：

$$\rho =r$$

圆心在极轴上的圆，半径为 $r$ ，圆心为 $C(a,0)$

极坐标方程表示为：

$$\begin{array}{rl}& \cos \theta =\frac{\rho }{2a}\\ \therefore & \rho =2a\cos \theta .\end{array}$$

过极点的圆：

圆心为 $C(a,\beta )$

极坐标方程为：

$$\begin{array}{r}\cos (\theta -\beta )=\frac{\rho }{2a}\\ \therefore \rho =2a\cos (\theta -\beta )\end{array}$$

四种常用曲线

经常用于定积分求面积以及二重积分求体积。

星形线

基本方程：

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$$

参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=a{\sin }^3\theta & & \end{array}$$

图像：

摆线

参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )& \end{array}$$

图像：

心形线

基本方程：

$$x^2+y^2+ax=a\sqrt{x^2+y^2}$$

极坐标方程：

$$\rho =a(1-\cos \theta )$$

图像：

伯努利双纽线

双纽线有两个，一个关于 $Y$ 轴对称，一个关于原点对称

$Y$ 轴对称双纽线

一般方程：

$${(x^2+y^2)}^2=a^2(x^2-y^2)$$

极坐标方程：

$${\rho }^2=a^2\cos 2\theta$$

图像：

原点对称双纽线

一般方程：

$${(x^2+y^2)}^2=2a^{2}xy$$

极坐标方程：

$${\rho }^2=a^2\sin 2\theta$$

图像：

定积分求体积

些许题目的可以使用传统的求体积的方法：

贴近 x 轴 y 轴求体积

$y=g(x)$ 绕轴旋转一圈求体积

绕 x 轴旋转一周：

$$V_x{|}_a^b={\int }_a^b\pi f^2(x)dx$$

绕 y 轴旋转一周：

$$V_y{|}_c^d={\int }_c^d\pi g^2(y)dy$$

上面的公式适用于旋转体与 x 轴或 y 轴相近的情况，如果出现不相接触的情况用下面这个公式：

不贴近 x 轴 y 轴求体积

绕 y 轴：

$$V_y={\int }_a^{b}2\pi x(y_1-y_2)dx$$

绕 x 轴：

$$V_x={\int }_a^{b}2\pi y(x_1-x_2)dy$$

IMPORTANT

注意，上面绕 x 轴公式中的 $x_1$ 和 $x_2$ 是关于 $y$ 的方程。

参数方程求体积

直接上方程

绕 x 轴：

$$V=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{y}^2(\theta )d(x(\theta ))$$

绕 y 轴：

$$V=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{x}^2(\theta )d(y(\theta ))$$

极坐标绕极轴的体积

$$V=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta$$

除极坐标的通用方法

利用二重积分求解定积分体积问题。

任意图形绕任意轴旋转一周的体积，有公式：

$$V={\iint }_{D}2\pi P(x,y)dxdy$$

其中 $D$ 代表图形的限制范围

$P(x,y)$ 代表图形上任意一点 $(x,y)$ 到这条直线的距离，

直线距离公式：设直线方程为 $Ax+By+C=0$ ，点 $P(x_1,y_1)$ ，

$$D=\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

用语言描述就是，将这个点代入到这个方程中，然后除以方程系数平方和的开根号。

这么说不太好理解，来个例题：

求 $y=\cos x(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2})$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 x 轴旋转一周的体积

根据上面的方法，可以直接列公式：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_0^{\cos x}2\pi (y)dy\\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\pi y^2{|}_0^{\cos x}\right)dx\\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\pi {\cos }^2(x))dx\\ & =2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^2(x))dx\\ & =2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =\frac{{\pi }^2}{2}\end{array}$$

上面就是利用二重积分求解体积。

不过需要注意的是，上面这个限制范围的 $x$ 是取值，而 $y$ 是函数的范围。

求 $y=\cos x(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2})$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 y 轴旋转一周的体积

依然是直接列公式：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_0^{\cos x}2\pi (x)dy\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(2\pi xy{|}_0^{\cos x}\right)dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2\pi x\cos x)dx\\ & =2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xd(\sin x)\\ & =2\pi (x\cdot \sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx)\\ & =2\pi (\frac{\pi }{2}+\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}})\\ & =2\pi (\frac{\pi }{2}-1)\end{array}$$

二重积分

除直接算之外，转换到极坐标系是一个很重要的方法。

$$x=r\cos (\theta )$$$$y=r\sin (\theta )$$$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

注意，在变换的时候由于二重积分换元需要用雅可比矩阵进行验证

所以变换到极坐标系需要多乘一个 $r$

例如：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy\text{其中区域 }D:x^2+y^2\le R^2$$

变量替换： $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

利用雅可比矩阵换元： $dA=dxdy\to rdrd\theta$

积分区域： $0\le r\le R,0\le \theta \le 2\pi$

进而得到：

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{R}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot rdrd\theta$$

特别注意：

$$f(x,y)=x^2+y^2\Rightarrow r^2\cdot r=r^3$$

柯西积分不等式

若 $f(x)、$ $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则有：

$${({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\cdot {\int }_a^b{g}^2(x)dx$$

定积分与常数不等式

NOTE

如果一个不等式的一端是定积分，一端是常数，则计算方法一定是先积分中值定理，再罗尔定理

奇函数积分与偶函数积分

IMPORTANT

在对称区间上，对奇函数求积分得到的结果为 $0$

$${\int }_0^x\mathrm{奇}dx=\mathrm{偶}$$$${\int }_a^x\mathrm{奇}dx=\mathrm{偶}(a\ne 0)$$$${\int }_0^x\mathrm{偶}dx=\mathrm{奇}$$$${\int }_a^x\mathrm{偶}dx=\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{为}\mathrm{偶}(a\ne 0)$$

基本不等式

对于正实数 $a,b$ ，有：

$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

按照顺序得到的结果是：

调和 < 几何 < 算术 < 平方

被称为调几算方

N 元均值不等式

对于任意的正整数 $n$ ，以及任意 $a_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$ 有：

$$\sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}\le \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$$

写几个常用的：

$$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$$$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$$$$a+b+c+d\ge \sqrt[4]{abcd}$$

在往下延申不太常用

拉格朗日乘数法求解多元函数极值点

数列极限问题

在求数列极限的时候，如果是 $n\to +\mathrm{\infty }$ ，且有 $X_{n+1}=f\left(X_n\right)$ ，直接令 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_n=A$ ，代入到上述等式中，将 $A$ 求出。

不出意外的话，这个 $A$ 就是极限值（有可能有多个）。当然还需要证明其单调，以及验证极限值唯一

然后就是写过程，首先是用数学归纳法证明有界性。

1. 首项成立
2. 假设第 $n$ 项也成立
3. 代入到条件中，证明第 $n+1$ 项也成立。
4. 得到结论

然后是证明单调性

利用后一项减前一项：

$$X_{n-1}-X_n=f(X_n)-X_n$$

接下来就可以选择构造函数进行求导、使用数学归纳法，或者什么也不用，根据某些函数的性质、题目中的条件（大于 0 或者小于 0）即可得到证明。

NOTE

此外，如果是数列极限与积分相结合，首先考虑观察此积分是否能计算出来。如果不能计算出来，需要考虑积分中值定理或者放缩加夹逼

NOTE

在证明数列 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ 的时候，可以使用对 $a_n$ 加上绝对值，使用夹逼定理的方法来解决。 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=0$ ，因为绝对值大于 $0$ ，所以只需要证明一边即可。

常见泰勒公式

$$\begin{array}{rl}{e}^x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \sin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \cos x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots ,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ \tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\frac{62}{2835}{x}^9+\frac{1382}{155925}{x}^{11}+\frac{21844}{6081075}{x}^{13}+\frac{929569}{638512875}{x}^{15}+\cdots ,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ \arctan x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+\cdots +x\in [-1,1]\\ \arcsin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\frac{35}{1152}{x}^9+\cdots +,x\in (-1,1)\\ \ln (1+x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\cdots ,x\in (-1,1]\\ \frac{1}{1-x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots ,x\in (-1,1)\\ \frac{1}{1+x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-x^3+\cdots ,x\in (-1,1)\\ (1+x{)}^{\alpha }& =1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots ,x\in (-1,1)\end{array}$$

下面进行补充一个不是很常用的等价无穷小：

$$1-{\cos }^{a}x\sim \frac{a}{2}{x}^2$$

这个地方还是比较好用的，如果 $a=\frac{1}{2}$ 还好说，直接有理化即可，如果是三次根号下，就不太好处理了，则用这个公式即可快速求出结果。

下面是推导过程：

$$\begin{array}{rl}1-{\cos }^{a}x& =1-e^{a\ln \cos x}\\ & =1-[1+a\ln \cos x]\\ & =1-[1+a(\cos x-1)]\\ & =1-[1+a(1-\frac{1}{2}{x}^2-1)]\\ & =1-(1-\frac{a}{2}{x}^2)\\ & =\frac{a}{2}{x}^2\end{array}$$

关键点在于换成幂指函数的形式，然后利用泰勒展开即可。

来一道综合泰勒公式缝合极限题：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x+\sin x+\cos x+\ln (1+x)+\sqrt{1+x}-(3+\frac{7}{2}x-\frac{5}{8}{x}^2+\frac{19}{48}{x}^3)}{x^4}$$

贡献者

王海平

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