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微分方程的一些概念

一阶微分方程

一阶微分方程是指只有一阶导数或微分的微分方程。

注：阶数是微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,如 $y^{\prime \prime }+xy=y\sin x$ 就是二阶微分方程了。

线性

形如

$$y^{\prime }+p(x)y+q(x)=0$$

指的是微分方程简化之后的每一项关于 $y$、 $y^{\prime }$ 的指数为 $1$.

注：这里仅仅是对于 $y$ 本身来说，对 $x$ 没限制，其中对于 $p(x)$ 和 $q(x)$ 并不做限制。形式如 $(y^{\prime }{)}^2+p(x)y+q(x)=0$，$y^{\prime }+p(x)y^2+q(x)=0$ 等形式的就不再是线性方程。

齐次

常数项（即不含有未知数的项为 $0$），称为齐次线性方程。

齐次微分方程

形如

$$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$$

换元后能为可分离变量方程的一类微分方程，其中 $f$ 是已知的连续方程。

一阶线性微分方程

二阶常系数线性微分方程

形如：

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

的微分方程，其中 $p$ 和 $q$ 是实常数。

解的结构

IMPORTANT

非齐次解的线性组合仍是非齐次的解，只要系数相加等于 1

IMPORTANT

非齐次解的线性组合为齐次的解，只要组合系数相加为 0

使用韦达定理

NOTE

韦达定理：

首先是在一元二次方程中，其代表根与系数之间的关系。

$a{x}^2+bx+c$ 中， $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

当然，除了在二次下，在高次幂下，依然有延申公式：

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ ， $x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ ， $x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_n{x}_{n-1}=\frac{a_n-2}{a_n}$ ， $x_1{x}_2{x}_3\cdots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$

当然，更常见的是在三次幂下的使用：

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ，可以得到： $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$ ， $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a}$ ， $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$ ， $x_1^2+x_2^2+x_3^2={(-\frac{b}{a})}^2-2\left(\frac{c}{a}\right)$

在知道韦达定理之后，结合在求解微分方程中特征方程的求解。在部分题目上可以使用韦达定理来求解特征值（根）与系数之间的关系。

求解

主要分为以下几类：

1.一阶微分方程的的求解

2.二阶可降阶微分方程的求解

3.高阶常系数线性微分方程的求解

一阶微分方程的求解

可分离变量微分方程

首先是可分离变量的微分方程。

一般形式： $\frac{dy}{dx}=f(x)g(x)$

解法：合并同类项，然后积分。

齐次微分方程

一般形式： $\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$

一般不会直接得到这个形式的题目，基本上都需要化简之后得到这个形式。

求解：

令 $u=\frac{y}{x}$ ，有： $\frac{dy}{dx}=\frac{d(xu)}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$

代入原方程，再合并同类项，然后积分。

一阶线性微分方程

一般形式： $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

一阶齐次线性微分方程：

若 $Q(x)\equiv 0$ ，则通解为：

$$y=C{e}^{-\int P(x)dx}$$

一阶非齐次线性微分方程

若 $Q(x)\ne 0$ ，则通解为：

$$y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$$

二阶微分方程

二阶齐次线性微分方程

一般形式：

$$\frac{d^2(y)}{d{x}^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)=0$$

通解：

$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)(C_1,C_2\in R)$$

其中的 $y_1(x),y_2(x)$ 为该方程的特解，其线性无关，也就是： $\frac{y_2(x)}{y_1(x)}\ne C$

IMPORTANT

其中，不只是齐次线性微分方程，包括非齐次线性微分方程，都满足：

非齐次解的线性组合仍是非齐次的解，只要系数相加等于 1

非齐次解的线性组合为齐次的解，只要组合系数相加为 0

二阶非齐次线性微分方程

这里跟上面的齐次线性微分方程唯一区别是等于号后面不等于 $0$

一般形式：

$$\frac{d^2(y)}{d{x}^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)=f(x)$$

其通解是：齐通 + 非齐特

综合起来就是：

$$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+y^{\ast }(x)(C_1,C_2\in R)$$

注意满足解的结构

二阶常系数齐次线性微分方程

一般形式：

$$\frac{d^2(y)}{d(x{)}^2}+p\frac{dy}{dx}+q=0(y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x))$$

通解：

二阶常系数非齐次线性微分方程

一般形式：

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

齐次通解就是上面哪几个解，注意其个别的形式。

关键是非齐次特解：

二阶可降解微分方程

这个只有两种：

不含有 $y$ 的

在 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 中，不含有 y。

要设 $y^{\prime }=p$ ，则 $y^{\prime \prime }=p^{\prime }$

可以得到 $p^{\prime }=f(x,p)$

将其转换成有关于 $x$ 和 $p$ 之间的微分方程。从而简化计算。

不含 $x$ 的

在 $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$ ，中不含有 $x$ 的。

令 $y^{\prime }=p(y)$ ，则 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\cdot \frac{dp}{dy}$

所以，可以得到：

$$p\cdot \frac{dp}{dy}=f(y,p)$$

将其转化成 $p$ 和 $y$ 之间的微分方程，从而简化计算。

NOTE

注意，如何区分什么时候在设 $p=y^{\prime }$ 是否需要链式法则： $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=p\cdot \frac{dp}{dy}$ 。

主要是要理解不含 $y$ 和不含 $x$ 之间的区别：

在不含 $y$ 中： 其本质是： $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$

在不含 $x$ 中，其本质是： $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$

首先，在第一部分：

在不含 $y$ 中， $y^{\prime }$ 和 $x$ 其实都是自变量，所以在进行换元处理的时候，需要设 $p=p(x)=y^{\prime }(x)$ ，而在此基础上，再求导并不需要链式法则。

在不含 $x$ 中， $y^{\prime }$ 和 $y$ 是这里的自变量，在进行换元处理的时候，其实是设 $p=p(y)=y^{\prime }(x)$ ，如果还是设 $p=y^{\prime }(x)$ ，这不能简化计算，原因在表示 $y$ 本身的时候，莫非还要积分？

IMPORTANT

一定要时刻记得在求导的时候，是对谁求导

贡献者

王海平

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