王海平的个人知识库

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首先来看其具体样子：

A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 0 \end{matrix}]

主对角线上为 $0$ ，其他地方上为 $1$

其计算方法如下：

将其变换为 $A = J - I$ ，其中 $J$ 代表 $n \times n$ 的全 1 方阵， $I$ 代表 $n \times n$ 的单位方阵

而 $| A | = | J - I |$

我们从性质的角度出发来计算这个行列式（本质上是使用特征值的方法）

由于 $J$ 为全 1 方阵，所以其秩为 1，所以有 $n - 1$ 个特征值为 $0$ .

再根据 $J$ 的所有行和相同，可以取全 1 向量 $v = (1, 1, \dots, 1)^{T}$ ，使得：

J v = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \end{matrix}] (1, 1, \dots, 1)^{T} = (n, n, \dots, n)^{T} = n v

所以，得到 $J$ 的一个特征值为 $n$

综上， $J$ 的特征值为一个 $n$ ， $n - 1$ 个 $0$

所以， $A = J - I$ 的特征值为一个 $n - 1$ , $n - 1$ 个 $- 1$

而其行列式为特征值的乘积：

| A | = det (A) = | \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 0 \end{matrix} | = (n - 1) \times (- 1)^{n - 1}

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